Эффект Холла

Простейшая теория Холла эффекта объясняет появление ЭДС Холла взаимодействием носителей тока (электронов проводимости и дырок) с магнитным полем. Под действием электрического поля носители заряда приобретают направленное движение (дрейф), средняя скорость которого (дрейфовая скорость) v др ¹ 0 . Плотность тока в проводнике j = n*ev др , где n — концентрация числа носителей, е — их заряд. При наложении магнитного поля на носители действует Лоренца сила: F = e[Hv дp ], под действием которой частицы отклоняются в направлении, перпендикулярном v др и Н. В результате в обеих гранях проводника конечных размеров происходит накопление заряда и возникает электростатическое поле — поле Холла. В свою очередь поле Холла действует на заряды и уравновешивает силу Лоренца. В условиях равновесия eE x = еНv др , E x =1/ne Hj, отсюда R = 1/ne (cм з /кулон). Знак R совпадает со знаком носителей тока. Для металлов, у которых концентрация носителей (электронов проводимости) близка к плотности атомов (n » 10 22 См -3 ), R~10 -3 (см 3 /кулон), у полупроводников концентрация носителей значительно меньше и R~10 5 (см 3 /кулон). Коэффициент Холла R может быть выражен через подвижность носителей заряда m = е t /m* и удельную электропроводность s = j/E = еnv лр /Е : R= m / s (3) Здесь m*— эффективная масса носителей, t — среднее время между двумя последовательными соударениями с рассеивающими центрами.

Иногда при описании Холла эффекта вводят угол Холла j между током j и направлением суммарного поля Е: tg j = E x /E= W t , где W — циклотронная частота носителей заряда. В слабых полях ( W t угол Холла j » W t , можно рассматривать как угол, на который отклоняется движущийся заряд за время t . Приведённая теория справедлива для изотропного проводника (в частности, для поликристалла), у которого m* и t их— постоянные величины.

Коэффициент Холла (для изотропных полупроводников) выражается через парциальные проводимости s э и s д и концентрации электронов n э и дырок n д : (a) для слабых полей (4) (б) для сильных полей. При n э = n д , = n для всей области магнитных полей : а знак R указывает на преобладающий тип проводимости. Для металлов величина R зависит от зонной структуры и формы Ферми поверхности. В случае замкнутых поверхностей Ферми и в сильных магнитных полях ( W t »1) коэффициент Холла изотропен, а выражения для R совпадают с формулой 4,б. Для открытых поверхностей Ферми коэффициент R анизотропен. Однако, если направление Н относительно кристаллографических осей выбрано так, что не возникает открытых сечений поверхности Ферми, то выражение для R аналогично 4,б. 2. Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории. Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля возникает разность потенциалов U= j 1 - j 2 (смотри рис 2.1). Она называется Холловской разностью потенциалов (в предыдущем пункте – ЭДС Холла) и определяется выражением: u h =RbjB (2.1) Здесь b — ширина пластинки, j — плотность тока, B — магнитная индукция поля, R — коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла.

Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией, отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем Е о (смотри рис 2.2). Эквипотенциальные поверхности этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е о скоростей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями . Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков.

Носители тока — электроны — имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения и направлена противоположно вектору плотности тока j. При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны b пластинки и равной по модулю F=euB (2.2) В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани — избыток положительных зарядов.

Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле Е B . Тогда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (2.2), установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении.

Соответствующее значение E B определяется условием: eE B =euB. Отсюда: Е B =uВ. Поле Е B складывается с полем Е о в результирующее поле E. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля.

Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение возникающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними b на напряженность Е B : UH=bE B =buB Выразим u через j, n и e в соответствии с формулой j=neu. В результате получим: U H =(1/ne)bjB (2.3) Последнее выражение совпадает с (2.1), если положить R=1/ne (2.4) Из (2.4) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носителей в единице объема). Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока.

Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электрического поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость u то подвижность их u 0 равна: U 0 =u/E (2.5) Подвижность можно связать с проводимостью s и концентрацией носителей n. Для этого разделим соотношение j=neu на напряжённость поля Е. Приняв во внимание, что отношение j к Е дает s , а отношение u к Е - подвижность, получим: s =neu 0 (2.6) Измерив постоянную Холла R и проводимость s , можно по формулам (2.4) и (2.6) найти концентрацию и подвижность носили тока в соответствующем образце.

		j

		E 0
	u

	+++++++++++++2+++++++++++++

Экспериментально обнаружено, E x = (RB + R а M)j, где R — обыкновенный, a R a — необыкновенный (аномальный) коэффициент Холла. Между R a и удельным электросопротивлением ферромагнетиков установлена корреляция. 4. Эффект Холла в полупроводниках.

Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлежности полупроводника к nили p-типу, так как в полупроводниках n-типа знак носителей тока отрицательный, полупроводниках p-типа – положительный. На рис. 4.1 сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями.

Направление магнитной силы изменяется на противоположное как при изменении направления движения заряда, так и при изменении его знака.

Следовательно, при одинаковом направлении тока и поля магнитная сила, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление.

Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей — ниже. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока.

Любопытно, что у некоторых металлов знак U н соответствует положительным носителям тока.

Объяснение этой аномалии дает квантовая теория.

	– – – – – – – – – – –

		B
	– – – – – – – – – – –		+++++++++++++++

Предсказан новый физический эффект, обусловленный действием силы Лоренца на электроны полупроводника, движущегося ускоренно.

Получено выражение для поля Холла и выполнены оценки холловского напряжения для реальной двумерной гетероструктуры.

Выполнен анализ возможной схемы усиления холловского поля на примере двух холловских элементов, один из которых — генератор напряжения, а второй — нагрузка.

Известен опыт Толмена и Стюарта, в котором наблюдался импульс тока j, связанный с инерцией свободных электронов. При инерционном разделении зарядов в проводнике возникает электрическое поле напряженностью E. Если такой проводник поместить в магнитное поле B, то следует ожидать появления эдс, аналогичной эффекту Холла, обусловленной действием силы Лоренца на инерционные электроны. В проводнике, движущемся с ускорением dv x /dt, возникает ток j x и поле E x (1) (2) где s = en m — проводимость, m — подвижность. В магнитном поле B(0; 0; B z ) возбуждается поле E y = (1/ne) j x B z или (3) Последнее выражение эквивалентно E y = E x m B z . Наиболее подходящий объект для экспериментального наблюдения эффекта — двумерные электроны в гетеросистеме n-Al x Ga 1-x As/GaAs. В единичном образце (1x1 см 2 ) в поле 1 Тл и m @ 10 4 см 2 (В * с) для dv x /dt @ 10 м/с 2 следует ожидать сигнал V y @ 6*10 -11 B, что вполне доступно для современной техники измерений.

Рассмотрим одну из возможностей усиления эффекта на примере двух холловских элементов, один из которых (I) является генератором поля Холла, а второй (II) —нагрузкой. Схема соединений холловских элементов I и II показана на рисунке. Итак, в магнитном поле B z (направление которого на рисунке обозначено знаком ) в первом холловском элементе (I) возбуждается ток j (1) x , поле E (1) x и холловское поле E (1) y , даваемые выражениями (1)–(3). Замкнув потенциальные (холловские) контакты X 1 -X 1 на токовые контакты T 2 -T 2 холловского элемента II, в последнем дополнительно к первичному полю E (2) x = E (1) x , определяемому выражением (2), имеем и поле E (1) y . Так что результирующее поле имеет два компонента — E (2) x = E (1) x + E (1) y . Это возможно, если холловский элемент I рассматривать как генератор напряжения, нагруженный на холловский элемент II. В этом случае должен выполняться режим ”холостого хода”, для чего необходимо выполнить условие R(X 1 -X 1 ) 2 -T 2 ), где R — сопротивление между соответствующими контактами. В таком случае в холловском элементе II возбуждается поле E (2) y =(E (1) y + E (1) y ) m B z (4) Учитывая соотношение E (1) y =E (1) x m B z , получаем E (2) y =(1+ m B z ) m B z E (1) x (5) Непосредственное наблюдение эффекта, видимо, затруднено. Более реально осуществить опыты с вибрацией образца в магнитном поле.

Полезный сигнал e y при этом может быть отделен от наводки e * y по квадратичной зависимости от частоты колебаний w (наводка пропорциональна 1-й степени частоты колебаний). В самом деле, для данной геометрии опыта (см рисунок) в магнитном поле B(0; 0; B z ) при изменении координаты x со временем по закону x = x 0 cos w t, где w — частота задающего генератора, нагруженного на пьезоэлемент, и x 0 — амплитуда колебаний последнего, имеем из соотношения (3) (6) где l y — расстояние между холловскими контактами образца (X 1 -X 1 ) т. е. E y = E y l y . Паразитная наводка e * y , возникающая в соединительных проводах в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, определяется выражением (7) где l * y — эффективная длина соединительных проводников, включающих образец в схему измерений. Таким образом, полезный сигнал e y имеет отличительные особенности по отношению к наводке e * y . Первая особенность это пропорциональность величине w 2 , тогда как e * y » w . Одновременно e y во времени изменяется синфазно, а e * y — противофазно напряжению задающего генератора.

Существенно отметить, что масса, входящая в выражения (1)-(3), это масса свободного электрона; величина же подвижности m определяется эффективной массой.

Датчик ЭДС Холла – это элемент автоматики, радиоэлектроники и измерительной техники, используемый в качестве измерительного преобразователя, действие которого основано на эффекте Холла.

Представляет собой тонкую прямоугольную пластину (площадь – несколько мм 2 ), или пленку, изготовленную из полупроводника (Si, Ge, InSb, InAs), имеет четыре электрода для подвода тока и съёма ЭДС Холла. Чтобы избежать механических повреждений, пластинки Холла ЭДС датчика монтируют (а пленку напыляют в вакууме) на прочной подложке из диэлектрика (слюды, керамики). Для получения наибольшего эффекта толщина пластины (плёнки) делается возможно меньшей.

Датчики ЭДС Холла применяют для бесконтактного измерения магнитных полей (от 10 -6 до 10 5 Э). При измерении слабых магнитных полей пользуются Холла ЭДС датчиками, вмонтированными в зазоре ферро– или ферримагнитного стержня (концентратора), что позволяет значительно повысить чувствительность датчика. Так как в полупроводниках концентрация носителей зарядов (а следовательно, и коэффициент Холла) может зависеть от температуры, то в случае точных измерений необходимо либо термостатировать Холла ЭДС датчик, либо применять сильнолегированные полупроводники (последнее снижает чувствительность датчика). При помощи Холла ЭДС датчика можно измерять любую физическую величину, которая однозначно связана с магнитным полем; в частности можно изменять силу тока, так как вокруг проводника с током образуется магнитное поле, которое можно измерить. На основе Холла ЭДС датчика созданы амперметры на токи до 100 кА. Кроме того Холла ЭДС датчики применяются в измерителях линейных и угловых перемещений, а также в измерителях градиента магнитного поля, магнитного потока и мощности электрических машин, в бесконтактных преобразователях постоянного тока в переменный, и, наконец, в воспроизводящих головках систем звукозаписи. 8. Список используемой литературы. 1) Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.