Компьютерное моделирование в курсе "Электричество и Магнетизм"

Основным методом исследования вычислительной физики является компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит математическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ. Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как теоретическая физика, численный анализ и программирование. На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень многие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде демонстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от преподавателя больших 'художественных возможностей'. Именно поэтому появилась тенденция создания компьютерных программ для моделирования подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее подобрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу времени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента, сопутствующих графиков. Кроме того, такие программы могут быть также 0 использованы в лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уровня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для самостоятельного изучения материала.

Целями дипломной работы являлись - исследование моделируемых процессов на предмет получения конечных аналитических решений, пригодных для создания на их основе демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построение алгоритмов решения на основе численных методов; - создание демонстрационных программ на основе полученных решений; - создания лабораторных работ на основе разработанных программ и ряда разноуровневых заданий к ним; - апробация созданных лабораторных работ 2 0на 0 физическом факультете ТГПУ им. Л.Н. Толстого в курсе методики преподавания физики; Научная новизна результатов дипломной работы В работе впервые: - Созданы демонстрационные программы для моделирования: процессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена , скин-эффекта; - Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций Кельвина; - Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении для скин-эффекта; - Показано, что в электрическом колебательном контуре на графике зависимости энергии от времени существуют плато, соответствующее нулевому току и проведена аналогия с механическими колебаниями; Научная и практическая ценность В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов и создан ряд моделирующих программ. Как теоретические результаты, так и компьютерные программы дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изучении данного материала. Вклад автора В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполненных совместно с научным руководителем, автором внесен должный вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретический анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.

Реализация результатов работы Полученные в результате теоретического анализа аналитические решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управлением: - MS-DOC версии 5.0 и последующих; - MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS). Программы реализованы с помощью компиляторов: - Turbo Pascal 6.0; - Turbo Pascal 7.0; и при использовании графических пакетов: - BGI (Borland International) - Дизайнер.

Демонстрационные программы используются в курсе преподавания физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут быть использованы в других учебных заведениях.

Апробация и публикации Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах докладов Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара 'Применение средств вычислительной техники в учебном процессе', изд-во УГТУ, Ульяновск 1995 г . [23] Материалы работы докладывались и обсуждались также на студенческих научных конференциях в ТГПУ [24]. Краткое содержание и структура Структура.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста, 12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименования. Во Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и перечисляются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о реализации и апробации проделанной работы. Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследованию моделируемых процессов. Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходимых для теоретического исследования и моделирования. В Главе 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно применение разработанных программ.

Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы. В Приложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики. Глава 1 Физические основы исследуемых процессов 1.1 Электрический колебательный контур.

Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопротивления нагрузки R (см. рис.1). Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида: Фd 2 q dq + 2 d + w 0 2 q = 0 (1.1.1) dt 2 dt где R 1 dq 2 d = ; w 0 2 = ; I = - . L LC dt Начальные условия: q = q 0 ; I =I 0 . t=0 t=0 Энергия колебательного контура определяется выражением: q 2 LI 2 W = + . (1.1.2) 2C 2 Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями, а соответствующие колебательные системы – линейными системами.

Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]: Ф- |\\ 1) w 0 > d , W = ? w 0 2 + d 2 - слабое затухание - в t d q = e (A Cos( W t) + B Sin( W t)); A=q 0 ;B= q 0; 7W - в t - в t q'= - d e (A Cos( W t) + B Sin( W t))+ e (A W Cos( W t) + B W Sin( W t)) 7|\\ / d 2 - в t q=q 0 / 1+ e Cos( W tf 0 ); (1.1.3) ? W 2 d где tg f 0 = - сдвиг фаз ; 7W ( d 2 ) - в t I = q 0 * 1 + 8 W e Sin( W t) (1.1.4) 79 W 2 0 Частный случай: R=0 и d =0 (гармонические колебания) q = q 0 Cos( w 0 t) (1.1.5) I = q 0 w 0 Sin( w 0 t) (1.1.6) 2) Критический режим: цw 0 = d 1 R 2 4L = > R 2 = LC 4L 2 C 4- в t q = q 0 e ( d t + 1) (1.1.7) 4- в t I = q 0 e d 2 t (1.1.8) 3) Сильное затухание: q 2 ( (- d + W )t (- d - W )t ) q = * ( W + d )e + ( W - d )e 8 (1.1.9) 2 W 9 0 q 2 w 0 2 ( (- d + W )t (- d - W )t ) I = * e + e 8 (1.1.10) 2 W 9 0 ш2.0 На рис. 12 показаны зависимости q ( t ), I( t ), W( t ), причем на последней хорошо заметно плато., соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии. 1.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.

Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с 1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую известность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии. Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной Планка.

Классические опыты Милликена направлены на прямое доказательство дискретности электрического заряда и определение элементарного электрического заряда.

Экспериментальный метод, примененный Милликеном , заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек масла[14,19]. Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора(рис.2). Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно падать.

Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, определяемой законом Стокса, и силой Архимеда. 6 6 6 F 4st +G+F арх =0 (1.2.1) F 4st =G-F арх (1.2.2) F 4st =6 ph aV G , (1.2.3) G-F a рх =3 p a 3 ( r k - r )g/4, (1.2.4) где a-радиус капли, 7h -вязкость газа, V G -скорость свободного падения капли, r k -плотность капли, 7r -плотность газа.

Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора приложено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Если через V Е обозначить скорость этого подъема, то можно записать: Е q-mg=6 ph aV E (1.2.5) где Е - напряженность поля внутри конденсатора.

Ионизируя воздух между пластинами конденсатора (например, при помощи рентгеновских лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V E1 . Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для разности зарядов (q-заряд до облучения, q 1 -заряд после облучения): .0 p (2V G h 3 ) 1/2 D q=q-q 1 =9 (V E -V E1 ) (1.2.6) E(( r k - r )g) 1/2 Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов.

Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным e=4.805*10 -10 СГСЭ. Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19]. Проведем строгое решение задачи о движении заряженной частицы в электрическом поле в вязкой среде.

Данное движение (рис.2) описывается следующим уравнением: 6 dV 6 6 6 6 m = F арх + G + F сопр + F электр ; (1.2.7) dt dV x m = - F арх + G + F сопр - F электр (1.2.8) dt 6 6 где F электр =qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем E x = + U/ d , U - напряжение между обкладками конденсатора d - расстояние между обкладками конденсатора F сопропределяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg - сила тяжести После подстановки и преобразований получим: dVx 6 ph а Gx F арх qE x + Vx = - + (1.2.9) dt m m m m Введем обозначения 9 h r 3qE x a = ;(1.2.10) b =g(1- );(1.2.11) g = ;(1.2.12) 2 r k а 2 r k 4 r k p a 3 получим dVx + a Vx = b + g (1.2.13) dt - a t b + g Общее решение этого уравнения: V x = const e + (1.2.14) a используя начальное условие 7b + g b + g Vx =V 0 ; V 0 = const + ' const = V 0 - (1.2.15) t=0 a a имеем { b + g } - a t b + g V x = 2 V 0 - 2 e + (1.2.16) [ a ] a x t 7! ! так как 2 dx = 2 V x dt (1.2.17) и x =0 получим 71 1 t=0 x 0 0 1 ( b + g ) - a t ( b + g ) x = - * V 0 - 8 e + * 8 t (1.2.18) a 9 a 0 9 a 0 Для создания демонстрационной программы удобнее использовать формулу не для x , а для D x , 1 { b + g }{ - a t } b + g D x=x-x 0 = 2 V 0 - 22 1 - e 2 + t (1.2.19) a [ a ][ ] a При q 1 =n 1 e 6 g 1 = a V 1x - a V 0x , а при q 2 =n 2 e 6 g 2 = a V 2x - a V 0x (1.2.20), где V 0x -скорость падения капли до облучения и без напряжения, V 1x -скорость падения капли до облучения при наличии поля, V 2x -скорость капли после облучения при наличии поля.

Разделив (1.2.20) друг на друга получим: g 1 V 1x - V 0x q 1 = = (1.2.21) g 2 V 2x - V 0x q 2 ш2.0 Определив из формулы (1.2.16) значения для V 0x ,V 1x ,V 2x и подставив их в (1.2.21) можно получить отношение q 1 к q 2 и если оно равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электрическому заряду, который по современным данным равен: e=1.6021892*10 -19 Кл. 1.3 Скин эффект в цилиндрической геометрии. Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую среду.

Переменное во времени электрическое поле 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщиной d , называемом глубиной скин-слоя . Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой проводимостью[12,15]. Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s , циклической частоты электромагнитного поля w , от состояния поверхности. На малых частотах d велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны l ` 10 -5 см. При еще больших частотах, превышающих плазменную частоту , в проводниках оказывается возможным распространение электромагнитных волн. Их затухание определяется как внутризонными , так и межзонными электронными переходами.

Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кинетического уравнения для носителей заряда с целью определения связи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла.

Наиболее просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда d велика по сравнению с эффективной длиной 0 пробега электронов.

Величина l определяется расстоянием, проходимым электроном за время t между двумя актами рассеяния( t -время релаксации) либо за период поля 1/ w в зависимости от того, какая из этих величин меньше. В общем случае: v l= , (1.3.1) t -1 -i w где v-скорость электрона.

Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нелинейный. В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение ситуации, когда l > d ; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низких температурах. При достаточно высоких значениях напряженности электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость d , начинают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя d также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля.

Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т.е. нормальный скин-эффект.

Точное решение зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, когда распределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной. При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12]. Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен.

Действительно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряженности электрического поля зависит только от времени. Но при таком граничном условии уравнения 6 6 div E = 0 и rot E = 0 (1.3.2) 6 в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const не зависящие от пространственных координат во всем пространстве.

Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока.[15] Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Используя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат: 6 ( ) ( ) 6 ч B ы 6 2 1 ч E z ч E f 26 2 ч E r ч E z 26 rotE= - ; rotE= 2 - - 2 e r + 2 + 2 e f + ч t 2 r чf ч z 2 2 ч z ч r 2 (1.3.3) 9 0 9 0 6 6 6 ч D ( ) rotH=j+ ; 2 1 ч ( rE f ) 1 ч E z 26 ч t я + 2 - - - 2 e z (1.3.4) (1.3.5) 2 r ч r r ч f 2 Закон Ома 9 0 6 6 j= s E ( ) ( ) (1.3.6) 6 2 1 ч H z ч H f 26 2 ч H r ч H z 26 rotH = 2 - - 2 e r + 2 + 2 e f + Материальные урав- 2 r чf ч z 2 2 ч z ч r 2 нения 9 0 9 0 6 6 ) ( ) D= ee 0 E 2 (1.4.7) 2 1 ч ( rH f ) 1 ч H z 26 6 6 2 + 2 - - - 2 e z (1.3.8) B= mm 0 H 0 2 r ч r r чf 2 79 0 6 6 6 ч H 6 6 ч E rotE =- mm 0 (1.3.9); rotH = s E+ ee 0 (1.3.10); 7ч t ч t ч Из симметрии задачи видно , что =0 , тогда получим: чf ч E f ч H r ч H f ч E r - =- mm 0 (1.3.11) - = s E r+ ee 0 (1.3.12) ч z ч t ч z ч t ч E r ч E z ч H f ч H z ч H z ч E f - =- mm 0 (1.2.13) - = s E f + ee 0 (1.3.14) ч z ч r ч t ч z ч r ч t 1 ч ( rE f ) ч H z 1 ч ( rH f ) ч E z - =- mm 0 (1.3.15) - = s E z + ee 0 (1.3.16) r ч r ч t r ч r ч t Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы: ш1.0 1 ч ( rH f ) ч E z ) 1 ч ( rE f ) ч H z ) - = s E z + ee 0 (а) 2 - =- mm 0 2 r ч r ч t 2 r ч r ч t 2 2 2 ч E r ч E z ч H f 2 ч H z ч H z ч E f 2 - =- mm 0 (б) 8 (1) - = s E f + ee 0 8 (2) ч z ч r ч t 2 ч z ч r ч t 2 2 2 чHf ч Er 2 ч E z ч H r 2 - = s E r+ ee 0 (в) 2 - =- mm 0 2 ч z ч t 0 ч z ч t 0 С компонентами E z ,H f ,E r эта сисС компонентами H z ,E f ,H r эта система описывает скин-эффект. тема описывает вихревые токи. Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-эффект.

Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле периодически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера: i ф e = cos a +isin a ; (1.3.17) перейти к вещественной форме решения. Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и однородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции: сумма произвольного числа решений уравнения сама является решением того же уравнения. Ищем решение системы (1) в виде: i w t ч ) E z =E z (r)e = i w 2 i w t => ч t 2 (1.3.18) H f =H f (r)e ч 2 i w t => =- ik z 2 E r =E r (r)e ч z 0 Положим k z =0 так , как мы ищем колебательное решения , а не волновое. Кроме того считаем , что s > e 0 ew поэтому e =0. Тогда : ik z H f = s E r => E r =0 (1.3.19) s ч E z ч E z я H f = (1.3.22) = i mm 0 w H f (1.3.20) i mm 0 ws ч r ч r ч H f 1 + H f = s E z (1.2.21) ч r r ч 2 E z ы 1 ч E z + - i mm 0 ws E z = 0 (1.3.23) ч r 2 r ч r Рассмотрим 2 возможных случая: 1) _Снаружи проводника . ( s =0) ч 2 E z 1 ч E z 1 ч ч E z ч E z + = 0 => r = 0 => r = const 1 ч r 2 r ч r r ч r ч r ч r ч E z const 1 ! const 1 = => E z = 2 dr (1.3.24) 7ч r к r 1 r E z =const 1 ln(r)+const 2 (1.3.25) Т.к. при r 6$ поле не может бесконечно возрастать => const 1 =0, следовательно E=const 2 т.е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника. 2) _ Внутри проводника ч 2 E z ы 1 ч E z + -i mm 0 ws E z = 0 (1.3.26) ч r 2 r ч r Очевидны граничные условия: I E z =E z и H f =H f = r=R r=R r=R r=R 2 p R (1.3.27) Таким образом мы получили уравнение: ч 2 E z 1 ч E z + + k 2 E z = 0 (1.3.28) 7 ч r 2 r ч r где k 2 =- i mm 0 ws ы 1 ч E z H f = (1.3.29) i mm 0 w ч r Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана (или Вебера )[8,18]: E z ( r )=AJ 0 ( kr )+BN 0 ( k 1 r) (1.3.30) Однако N 0 ( x ) 6$ при x 6 0 , поэтому мы вынуждены отбросить это решение и окончательно записать: E z (r)=AJ 0 ( kr ) (1.3.31) Или общее решение: i w t E( r,z,t )=AJ( kr )e (1.3.32) | 1-i |\ 1-i 1 1-i |\ т . к . ? -i= ;k= ?mm 0 ws ;k= ; d =1/ ?mm 0 ws 7| | | ? 2 ? 2 d ? 2 d - глубина проникновения. Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида: ч 2 E z 1 ч E z + - i l 2 E z = 0 (1.3.33) ч r 2 r ч r l 2 = mm 0 ws ; l =1/ d имеет решение в виде комбинации функций Кельвина: E z =A[ ber 0 ( l r)+ ibei 0 ( l r)]+B[ ker 0 ( l r)+ kei 0 ( l r)] (1.3.34) Причем функции ker 0 ( l r) и kei 0 ( l r) мы должны отбросить по тем же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении. Это же легко подтвердить из следующих соображений: | - i p /4 (1-i)/ ? 2 =e (1.3.35) Тогда согласно [8] получим: - i p /4 ber 0 ( l r)+ ibei 0 ( l r)=I 0 ( l re ) (1.3.36) Очевидно , что : ber 0 ( l r)= Re {I 0 ( l r(1-i)/2 1/2 )} (1.3.37) bei 0 ( l r)= Jm {I 0 ( l r(1-i)/2 1/2 )} (1.3.38) Очевидно , что общее решение будет иметь вид : i w t E z ( r,t,z )=A{ ber 0 (r/ d )+ ibei 0 (r/ d )}e (1.3.39) Преобразуем последнее выражение : E z ( r,t,z )=A{ ber 0 ( r / d )+ ibei 0 ( r / d )}{ cos ( w t-k z z)+ isin ( w t)}= =A { ber 0 (r/ d ) cos ( w t)- ibei 0 (r/ d )sin( w t)} + + i { ber 0 (r/ d ) cos ( w t)+ ibei 0 (r/ d )sin( w t)} = |\\\ =A (( ber 0 (r/ d )) 2 + ? bei 0 (r/ d )) 2 cos( w t+ f )+ |\\\ + i (( ber 0 (r/ d )) 2 + ? bei 0 (r/ d )) 2 sin( w t+ f ) ; (1.3.40) bei 0 (r/ d ) где tg f = ber 0 (r/ d ) |\\\ E z =A(( ber 0 (r/ d )) 2 + ? bei 0 (r/ d )) 2 { cos ( w t+ f )+ isin ( w t+ f )} (1.3.41) Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. |\\\ E z1 =A(( ber 0 (r/ d )) 2 + ? bei 0 (r/ d )) 2 cos( w t+ f ) (1.3.42) |\\\ E z2 =A(( ber 0 (r/ d )) 2 + ? bei 0 (r/ d )) 2 sin( w t+ f ) (1.3.43) 7|\ где f - определяется выше , а d =1/ ?mm 0 ws Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.

Окончательно получим: E z =A(( ber 0 ( r / d )) 2 +( bei 0 ( r / d )) 2 ) 1/2 cos( w t+ f ) (1.3.44) bei 0 ( r / d ) |\ где f = arctg ; d =1/ ?mm 0 ws ; w =2 pn ber 0 (r/ d ) n - частота переменного тока 7m - магнитная проницаемость проводника m 0 =4 p *10 -7 Гн/м - магнитная постоянная s - проводимость проводника Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент времени: ш1.0 R R 7! ! ! I(t)= 2 jdS= 2s E z 2 p rdr=2 ps2 E z ( r,t ) rdr (1.3.45) 71 1 1 50 0 |\\\\\\ Графики функций ber 0 ( x ), bei 0 ( x ), ? 0(( ber 0 (r/ d )) 2 +bei 0 (r/ d ) 2 ), 7f ( x ) в приложении (на рис. 4,5). При высоких частотах. x>>1 |\ | | ber (x)= ? 2 p x exp(x/ ? 2) cos ((x/ ? 2)- p /8) (1.3.46) |\ | | ber (x)= ? 2 p x exp(x/ ? 2)sin((x/ ? 2)- p /8) (1.3.47) Тогда x=r / d | | E z ( r,t )=A (2 p x) -1 exp(2x/ ? 02) cos 2 ((x/ ? 2)- p /8)+ | | +(2 p x) -1 exp(2x/ ? 2)sin 2 ((x/ ? 2)- p /8) cos( w t+ f ) (1.3.48) |\ | ? 2 p x sin((x/ ? 2)- p /8) | f = arctg = arctg { tg ((x/ ? 2)- p /8)}(1.3.49) |\ | ? 2 p x cos((x/ ? 2)- p /8) | f =(x/ ? 2)- p /8 E z ( r,t )=A(2 p r/ d ) -1/2 exp(r/ d 2 1/2 ) cos ( w t+(r/ d 2 1/2 )- p /8) (1.3.50) ш 2.0 При малых частотах . x 6 0 ber (x) ~ 1 ; bei (x) ~ x 2 /4 ; tg f~ x 2 /4 ~f Тогда E z ( r,t )=A(1+x 4 /16) 1/2 cos( w t+x 2 /4) (1.3.51) 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный расчет является достаточно длительной по времени задачей.

Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндрической геометрии , причем функции sin , exp , cos считаются намного быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток (шина) (рис.6) 6 6 6 6 e x e y e z 6 ч B 6 6 ч E z ч E y 6 ч E x ч E z rotE= - rotE= ч / ч x ч / ч y ч / ч z =e x - +e y - + ч t ч y ч z ч z ч x (1.4.1) E x E y E z 6 6 6 ч D rotH=j+ ч t 6 ч E y ч E x (1.4.2) + e z - (1.4.3) 6 6 ч x ч y j= s E о 6 6 D= ee 0 E 6 6 6 6 6 6 6 rotE =- mm 0 ч H/ ч t (1.4.4); rotH = s E+ ee 0 ч E/ ч t (1.4.5) B= mm 0 H Из симметрии задачи очевидно , что ч / ч y=0 ч E y ч H x ч H y ч E x - =- mm 0 (1.4.6) - = s E x + ee 0 (1.4.7) ч z ч t ч z ч t ч E x ч E z ч H y ч H x ч H z ч E y - =- mm 0 (1.4.8) - = s E y + ee 0 (1.4.9) ч z ч x ч t ч z ч x ч t ч E y ч H z ч H y ч E z =- mm 0 (1.4.10) = s E z + ee 0 (1.4.11) ч x ч t ч x ч t Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы: ) ч H y ч E z 2 ч E y ч H x = s E z + ee 0 (a) 8 (a) - =- mm 0 ч x ч t 0 ч z ч t ч E x ч E z ч H y ) ч H x ч H z ч E y - =- mm 0 (b) 2 - = s E y + ee 0 ч z ч x ч t ч z ч x ч t 8 (a) ч H y ч E x 2 ч E y ч H z - = s E x + ee 0 (c) =- mm 0 ч z ч t 2 ч x ч t 0 С компонентами E z ,H y ,E x , эта С компонентами H z ,E y ,H x , эта система описывает скин-эффект система описывает вихревые токи Занимаемся только системой ( a ) и ищем решения в виде: ш 1.0 ) i w t ч 2 E z =E z (r)e = i w 2 i w t => ч t 8 (1.4.12) H y =H y (r)e ч 2 i w t => =- ik z 2 E x =E x (r)e ч z 2 0 ч H y = s E z (1.4.13) ч x ч E z ы = i mm 0 w H y (1.4.14) ч x E x = 0 (1.4.15) s ч E z H y = (1.4.16) i mm 0 ws ч x ч 2 E z - i mm 0 ws E z =0 (1.4.17) 7ч x 2 Таким образом имеем уравнения: Внутри проводника Снаружи проводника ( s =0) ч 2 E z ч 2 E z - i mm 0 ws E z =0 (1.4.18) = 0 (1.4.19) 7ч x 2 ч x 2 Очевидны граничные условия: Решение: E z =const 1 x+const 2 (1.4.22) E z = E z (1.4.20) Так как поле не может бесr=R r=R конечно возрастать то: внутри снаружи const 1 =0 Поле вне проводника пос H y = H y (1.4.21) тоянно , не зависит от r=R r=R пространственных координат внутри снаружи По теореме о циркуляции легко E z =const 2 получить: 5 6 6 5 ee 0 1 ч E z # Hdl=I (1.4.23) 5 H y = (1.4.24) mm 0 s ч x 5 I * 5 неопределенность H y 2l=I * l => H y = (1.4.25) Магнитное поле такое же , 2 как оно было бы вокруг провода с постоянным током , I * - линейная плотность тока равным мгновенному значению переменного тока. ш1.0 Таким образом имеем уравнение: 7 ч 2 E z - k 2 E z =0 (1.4.26) ч x 2 где k 2 = i mm 0 ws Решение этого уравнения хорошо известно[18]: E(x) = Ae ikx +Be -ikx (1.4.27) | 1-i |\ 1-i 1 1-i |\ т . к . ? -i= ;k= ?mm 0 ws ;k= ; d =1/ ?mm 0 ws 7| | | ? 2 ? 2 d ? 2 из геометрии задачи видно , что E z ( x )=E z (- x ) => A=B. Следовательно решение уравнения можно записать в виде: E( x ) = A{ e ikx +e -ikx } (1.4.28) Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив некоторые выражения: x /(2 1/2 s )= y , а w t-k z z= a ): i ф E z =A{ e y e iy +e -y e -iy } e =A{ e y ( cosy+isiny )+ e -y ( cosy-isiny )}* *{ cos a +isin a }=A{(e y +e -y ) cosy+i (e y -e -y ) siny }{ cos a +isin a }= =A {(e y +e -y ) cosycos a -(e y -e -y ) sinysin a }+ + i {(e y +e -y ) cosycos a +(e y -e -y ) sinysin a } = A{(e y +e -y ) cos 2 y+(e y -e -y )sin 2 y} 1/2 {( cos f sin a -sin f cos a )+ + i ( cos f sin a +sin f cos a )} (1.4.29) (e y -e -y ) siny e y -e -y где tg f = = tgy (e y +e -y ) cosy e y +e -y Тогда вправе переписать: E z =A( e 2y +e -2y +2cos2y) 1/2 { cos ( a + f )+ isin ( a + f )} (1.4.30) Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл.

Приведенное выше комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0. Окончательно получим: E z ( r,t )=A( e 2y +e -2y +2cos2y) 1/2 cos( w t+ f ) (1.4.31) e y -e -y x |\ f =arctg tgy ; y= ; d =1/ ?mm 0 ws ; w =2 pn e y +e -y 2 1/2 d Т . е . решения аналогичны цилиндрическим . Интересен предел высоких частот: w6$ ; d6$ ;y 6$ E z ( x,t )= Ae y cos( w t+y) (1.4.32) x y= (1.4.33) 2 1/2 d Предел низких частот: w6 0; d6 0;y 6 0 E z ( r,t )=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 1/2 cos( w t+ f ) (1.4.34) 1+y-1+y tg f = y=y 2 1+y+1-y E z ( r,t )=A(2+2cos2y) 1/2 cos( w t+y 2 ) (1.4.35) E z ( r,t )=A(2(1+cos2y)) 1/2 cos( w t+y 2 ) (1.4.36) E z ( r,t )=A2 cosy cos( w t+y 2 ) (1.4.37) Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна при сравнении рисунков 10 и 11. Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью тока противоположно направленной поверхностному току. Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в программах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без учета). Глава 2 ' Математические методы исследования процессов ' 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y ( x ) и ее первые n производных по аргументу x f ( x,y,y ',... y ( n ) )=0. (2.1.1) Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка 7f k ( x,y 1 ,y' 1 ,y 2 ,y' 2 ,...,y n ,y' n )=0, (2.1.2) где k=1,2,..., n . Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют бесконечное множество решений.

Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматриваются три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некоторой точке x 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y ( x ) и ее производных y(x 0 )=y 0 ; y'(x 0 )=y 10 ,...,y (n-1) (x 0 )=y n-1,0 . (2.1.3) Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде y 1 (x 0 )=y 10 ; y 2 (x 0 )=y 20 ,...,y n (x 0 )=y n0 . (2.1.4) Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями.

Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x е [ x 0 ,x k ], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y ( x ) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров l 1 , l 2 , l 3 ,..., l m , которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [ x 0 ,x k ] необходимо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д. К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений [10]. Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач. 2.2 Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка). Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши dy k (x) = f k ( x,y 1 ,y 2 ,...,y n ), (2.2.1) dx где k=1,2,..., n . При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется начальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений dy (x) = f( x,y ), y(x 0 )=y 0 . (2.2.2) dx В окрестности точки x 0 функцию y ( x ) разложим р ряд Тейлора ( x-x 0 ) 2 y ( x )= y ( x 0 )+( x-x 0 ) y '( x 0 )+ y ''( x 0 )+..., (2.2.3) 2 который можно применить для приближенного определения искомой функции y ( x ). D njxrt x 0 + h при малых значениях h можно ограничится двумя членами ряда (2.2.3), тогда y(x 0 +h)=y 0 +hy'(x 0 )+O(h 2 ), (2.2.4) где O( h 2 )-бесконечно малая величина порядка h 2 . Но такой метод дает очень существенные погрешности. Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необходимо учитывать большее количество членов ряда.

Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f ( x,y ) в точках на интервале [ x 0 ,x 0 +h], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h , с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10]. Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка точности полечено однопараметрическое семейство схем вида: y(x 0 +h)=y 0 +h[(1- a )f 0 + a f(x 0 + g h,y 0 + g f 0 h)]+O(h 3 ), (2.2.5) где 0 a , 1 - свободный параметр, f=f( x,y ), g =(2 a ) -1 . Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, глобальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью O( h 2 ). Для параметра a наиболее часто используют значения a =0,5 и a =1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид y(x 0 +h)=y 0 +h[f 0 +f(x 0 +h,y 0 +hf 0 )]/2, (2.2.6) геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7 Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 0 + h по формуле Эйлера y Э = y 0 + hf 0 . Затем определяется наклон интегральной кривой в найденной точке f ( x 0 +h,y Э ), и после нахождения среднего наклона на шаге h находится уточненное значение y 4 RK 0= y ( x 40 0+ h ). Схемы подобного типа называют 'прогноз-коррекция', что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой [10]. С целью экономии памяти при программировании алгоритма (2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом того, что y 0 =y Э -hf 0 y k ( x 0 +h)= y kЭ +h[ f k0 -f k ( x 0 +h,y kЭ )]/2, (2.2.7) где k - номер решения для системы ОДУ. Во втором случае при a =1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме y(x 0 +h)=y 0 +hf(x 0 +h/2,y 0 +hf 0 /2), (2.2.8) геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке x 0 +h/2 y 1/2 =y 0 +hf 0 /2, (2.2.9) а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в средней точке решение корректируется по этому наклону. 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты четвертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y ( x ) учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включительно. после аппроксимации правой части ОДУ f ( x,y ) получено семейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая: y(x 0 +h)=y 0 +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 )/6+O(h 5 ), (2.3.1) где k 1 =hf( x 0 ,y 0 ), k 2 = hf (x 0 +h/2,y 0 +k 1 /2), k 3 = hf (x 0 +h/2,y 0 +k 2 /2), k 4 = hf (x 0 +h,y 0 +k 3 ). Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правой части ОДУ в 4-х точках.

Локальная погрешность схемы имеет 5-й порядок, глобальная - 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записанных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуется преобразовать к виду: y i (x 0 +h)=y i0 +(q i1 +2q i2 +2q i3 +q i4 )/3+O(h 5 ), (2.3.2) где q i1 =h 2 f i (x 0 ,y i0 ), h 2 =h/2 q i2 =h 2 f i (x 0 +h/2,y i0 +q i1 ), q i3 = hf i (x 0 +h/2,y i0 +q i2 ), q i4 =h 2 f i (x 0 +h,y i0 +q i3 ), i=1,2,..., n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений. В приводимом тексте программ рассматривается решение уравнения Ван дер Поля: y''+p (y 2 -1) y'+y =0, (2.3.3) которое является математической моделью автоколебательных механических и электронных схем.

Параметр p в уравнении (2,3,3) определяет нелинейные свойства системы. Для малых ( p p >> 1) значения параметра p в теории колебаний развиты приближенные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать численными методами[10]. Для приведения уравнения (2,3,3) к форме Коши введем обозначения: y 1 ( x )= y ( x ), y 2 ( x )= y '( x ), тогда получим систему уравнений: ( 2 y' 1 (x)=y 2 (x), * (2.3.4) 2 y' 2 (x)=p(1-y 2 1 (x))y 2 (x)-y 1 (x). 79 Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по формуле: y h (x)-y kh (x) R 0 = , (2.3.5) k p -1 которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид: R 0 =[y h (x)-y 2h (x)]/15 (2.3.6) Однако эта формула требует значительных затрат времени для повторного расчета.

Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале. PROGRAM RUNGE-KYTTE_4 TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL; VAR P,X,X9,H:REAL; Y:VEC; CH:CHAR; {----- ПРОИЗВОДНЫЕ -----} PROCEDURE RP(X:REAL;VAR Y,R:VEC); BEGIN F[1]:=Y[2]; F[2]:=P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1]; END; {-----МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА-----} PROCEDURE RK4(N:INTEGER; X,H:REAL; VAR Y:VEC); VAR I,J:INTEGER; H1,H2,Q:REAL; Y0,Y1,F:VEC; BEGIN H1:=0.0; H2:=H/2; FOR I:=1 TO N DO BEGIN Y0[I]:=Y[I]; Y1[I]:=Y[I]; END; FOR J:=1 TO 4 DO BEGIN RP(X+H1,Y,F); IF J=3 THEN H1:=H ELSE H1:=H2; FOR I:= TO N DO BEGIN Q:=H1*F[I]; Y[I]:=Y0[I]+Q; IF J=2 THEN Q:=2+Q; Y1[I]:=Y1[I]+Q/3.0; END; END; FOR I:=1 TO N DO Y[I]:=Y1[I]; END; {--------------------} BEGIN REPET WRITE('P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?'); READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]); WHILE (X 0.0) DO BEGIN RP4(2,X,H,Y); X:+X+H; WRITELN(X,' ',Y[1],' ',Y[2]); END; WRITE(' Еще разок ?(Y/N)'); READLN(CH); UNTIL (CH='Y')OR(CH='y'); END. 2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя.

Цилиндрические функции ( бесселевы функции) - решения Z т дифференциального уравнения Бесселя: d 2 Z dZ z 2 + z + ( z 2 - n 2 )Z=0 (2.4.1) dz 2 dz где n - произвольное действительное или комплексное число. Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (2.4.1) имеет вид: Z т = c 1 J т ( z ) + c 2 J - т ( z ), (2.4.2) где с 1 ,с 2 - постоянные, а J т и J - т - так называемые цилиндрические функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для них справедливо разложение: $ m т +2m (-1) (0,5z) J( z )= , ( arg z (2.4.3) Г(m+1)Г( m+ n +1) m=0 т Ряд в правой части для z J т ( z ) сходится абсолютно и равномерно при всех z , R, n , N, где R и N - произвольные положительные числа.

Функции J т ( z ) и J - т ( z ) - аналитические , с особыми точками z=0 и z= $ ; производные функций J т ( z ) и J - т ( z ) удовлетворяют следующему тождеству: 2sin np z [J т ( z )J' - т ( z )-J' т ( z )J - т ( z )] = - . (2.4.4) p Если же n - целое, то J т ( z ) и J - т ( z ) линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (2.4.1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят цилиндрические функции 2-го рода N n ( z ) (или Неймана функции, функции Вебера): 1 N т ( z )= [J т ( z ) cos np -J - т ( z )], (2.4.5) sin np (другое обозначение Y т ( z )). При помощи этих функций общее решение уравнения (2.4.1) может быть записано в виде: Z т =c 1 J т ( z )+ c 2 N т ( z ). Важны для приложения и другие решения уравнения (2.4.1) - цилиндрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозна чают через H т (1) ( z ) и H т (2) ( z ) и, по определению, полагают: 1 - i тз H т (1) (z)=J т (z)+ iH т (z)= [J - т (z)-J т (z)e ], (2.4.6) isin np 1 - i тз H т (2) (z)=J т (z)- iH т (z)= [J т (z)e -J - т (z)]. (2.4.7) isin np Справедливы тождества : ) 2 2 z[J т (z)N' т (z)-J' т (z)N т (z)] = . 2 p 2 8 (2.4.8) 4i 2 z[H т (1) (z)H т (2) '(z)-H т (1) '(z)H т (2) (z)]= - 2 7p 2 0 и соотношения: 1 J( z ) = [H т (1) ( z )+H т (2) ( z )], (2.4.9) 2 1 H т ( z )= [H т (1) ( z )-H т (2) ( z )]. (2.4.10) 2i Для действительных z=x и n функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (2.4.1). При этом функции J т ( z ) дают действительную часть, а функции N т ( x ) - мнимую часть функций Ганкеля.

Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют рекуррентным формулам: ) 2 n 2 Z т -1 ( z )+Z т +1 ( z )= Z т ( z ), 2 z 8 (2.4.11) 2 Z т -1 ( z )-Z т +1 ( z )=2Z' т ( z ). 2 0 Каждая пара функций J т ( z ),J - т ( z ); J т ( z ),Y т ( z ); H т (1) ( z ),H т (2) ( z ) образует (при целом n ) фундаментальную систему решений уравнения (2.4.1). Модифицированными цилиндрическими функциями называются цилиндрические функции мнимого аргумента: ( -i тз /2 i з /2 2 e J т (e z), - p argz , p /2 , 2 I т (z) = * (2.4.12) 2 -3i тз /2 -3i з /2 2 e J т (e z), p /2 argz , p , 79 и функции Макдональда: 4i зт /2 i з /2 - i зт /2 -i з /2 K т (z)=(1/2) i p e H (1) т (e z)=-(1/2) i p e H (2) т (e z)= -i зт /2 i з /2 =(1/2) i p e H (1) т (e z). (2.4.13) Эти функции являются решениями дифференциального уравнения d 2 Z dZ z 2 + z - (z 2 + n 2 )Z=0 (2.4.14) dz 2 dZ и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9] 7) 2 n 2 I т -1 (z)+I т +1 (z)= I т (z), 2 z 8 (2.4.14) 2 n 2 K т -1 (z)-K т +1 (z)=- K т (z). 2 z 0 K - т (z)=K т (z). (2.4.15) 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.

Функции Кельвина (или функции Томпсона) ber ( z ) и bei ( z ) - определяются следующими соотношениями: 3i з /4 ber т (z)+ bei т (z)=J т ( ze ) (2.4.16) -3i з /4 ber т (z)- bei т (z)=J т ( ze ) (2.4.17) где J т - вышеописанная функция Бесселя. При n =0 индекс у знака функции опускается.

Функции Кельвина составляют фундаментальную систему решений уравнения: z 2 y''+zy'-( iz 2 + n 2 )y=0, (2,4,18) переходящего при z=x ( i 1/2 ) в уравнение Бесселя.

Функции Кельвина представляются в виде: $ (-1) r z 4r ber ( z )= , (2.4.19) 2 4r [(2r)!] 2 r=0 $ (-1) r z 4r+2 bei ( z )= . (2.4.20) 2 4r+2 [(2r+1)!] 2 r=0 Асимптотические представления[8,9]: ф ( z ) e ber ( z )= cos b ( z ), (2.4.21) (2 p z) 1/2 ф (z) e bei (z)= sin b (z), (2.4.22) (2 p z) 1/2 где z 1 25 13 a ( z ) ` + - - - ... (2.4.23) (2) 1/2 8z(2) 1/2 384z 2 (2) 1/2 128z 2 z p 1 1 25 b (z) ` - + - - - ... (2.4.24) (2) 1/2 8 8z(2) 1/2 16z 2 384z 2 (2) 1/2 Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5. Глава 3 Использование ЭВМ в учебном процессе. 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики. В ходе поступательного развития методики преподавания физики совершенствуются методы обучения и технология педагогического труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность учебного процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ, позволяющих показать в динамике практически любой физический процесс и проверить знания учащихся - вот путь эволюции технических средств обучения.

Дальнейший прогресс в преподавании физики, на мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволит исключить использование такой громоздкой техники как кино, эпи-, диа - и графопроекция , обучающие и контролирующие устройства. Не надо думать однако, что ЭВМ вытеснит 'живой' эксперимент, позволяющий ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моделировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или невозможна вообще. Эти 'мыслящие' машины должны стать в руках учителя орудием более эффективной передачи знаний подрастающим поколениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис. 9,10,11) Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение всегда должно определятся спецификой изучаемой темы и возможностью выразительно передать с их помощью главные особенности изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредственное (специально организованное педагогом) восприятие учениками изучаемых явлений.

Учитель физики должен знать дидактические возможности применения ЭВМ и в совершенстве владеть приемами их использования.

Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обучения: 1) повысить эффективность преподавания путем налаживания систематического (пооперационного) контроля знаний учащихся, индивидуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочной системы, т.е. реализовать разноуровневость в обучении; 2) освободить учителя от монотонной технической работы, с тем чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности. 3) развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме того, позволяет: а) в ряде случаев дать учащимся более полную и точную информацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерной мультипликации (или компьютерного видео), например, показать тела в состоянии невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект) и т.п.; б) повысить наглядность, создать представления о механизме сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание; так средствами компьютерной мультипликации даются модельные представления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях, происходящих в атомных ядрах, о взаимодействии элементарных частиц и т.д. в) ознакомить учащихся с характером быстро и медленно протекающих процессов, а также невидимых явлений; г) познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспериментами, постановка которых в классе затруднена или невозможна, - опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Кавендиша и т.п.; д ) более успешно решать задачи политехнического образования, поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о конструкции машин и механизмов и о физических принципах их работы, а также показать переход от принципиальной схемы того или иного технического устройства к её конкретному конструктивному решению (например видеофрагменты по темам: 'Машины переменного тока', 'Радиолокация' и т.д.); е) проводить контроль знаний учащихся учитывая их индивидуальные способности (т.е. осуществлять разноуровневый подход к контролю знаний учащихся); ж) усилить воспитательное воздействие на учащихся; с этой целью можно использовать видеофрагменты об истории научных открытий и изобретений; 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении.

Компьютер может использоваться в обучении как: 1) Справочное средство. Т.е. использование ЭВМ как банк данных, содержащий различного рода справочную информацию. Это могут быть различные таблицы, чертежи, схемы, тексты и видеослайды т.д. Если терминал подключен к сети, то можно получить информацию которая хранится на других терминалах или сетевом сервере, а имея модем можно получить доступ к информации хранящейся даже в другой стране или связаться с преподавателем и получить от него нужную информацию.

Видеослайды будут прекрасным дополнением к объяснению учителя, а также помогут учащимся осознать материал. 2) Информационное средство. ЭВМ можно использовать как хранилище видео информации. Это могут быть учебные целостные видеофильмы, фрагментарные видеофильмы, видеофрагменты (видеоролики). а) Целостный видеофильм - это своеобразная видеолекция , в которой раскрывается весь материал темы.

Однако практика показывает, что целесообразно делать их фрагментарными и применять как обзорные. б) Фрагментарный видеофильм состоит из нескольких частей, каждая из которых разбита на фрагменты. На уроке можно использовать или только нужный фрагмент, или сочетание нескольких. Весь фильм целесообразно использовать при обобщении или повторении. в) Видеофрагмент - это очень короткий (4-5 мин. показа) учебный фильм, посвященный определенному небольшому вопросу; он рассчитан на органическое включение его в ход урока.

Присущие ему автономность и относительная отрывочность позволяют учителю в соответствии с логикой учебно-воспитательного процесса осуществлять просмотр видеофрагмента тогда, когда это может принести максимальный педагогический эффект. 3) Учебное средство. а) Обучающие средство. ЭВМ выдает ученику подобранную соответствующим образом информацию (своего рода электронный учебник), с которой ученик знакомится самостоятельно.

Причем в этом случае учитель может контролировать то, информация какого уровня сложности преподносится тому или иному ученику (т.е. реализуется разноуровневый подход к обучению). б) Контролирующее средство. Это различного рода тестовые программы и электронные задачники, в которых вопросы и задачи подобранны по уровням сложности и даются каждому ученику в зависимости от его индивидуальных способностей[6]. .3 Моделирование физических процессов на ЭВМ. Для изучения того ил иного явления в физике очень часто используется такой метод изучения, как моделирование.

Моделирование представляет собой воспроизведение определенных свойств и связей объекта - оригинала в другом, специально созданном объекте – в модели с целью их более тщательного изучения. ЭВМ позволяет создать широкий спектр программных средств и активно использовать их в учебном процессе, позволяя сделать многие физические задачи доступными и наглядными[1]. Вместе с тем нужно отметить, что самая совершенная модель не может полностью описать явление, а представляет лишь его основные, наиболее характерные черты. Таким образом цель моделирования физического процесса - создание модели является 'волшебным' инструментом познания, позволяющим на разных степенях исследования выделить главные, наиболее существенные характеристики физического процесса.

Каждая модель физического процесса должна отвечать следующим требованиям: 1) модель не должна искажать физическую реальность 2) модель должна быть динамичной 3) модель должна базироваться на проверенных данных 4) модель должна действовать в определенных рамках 5) модель должна наглядно представлять физическое явление, для которого создана.

Исходя из вышесказанного и были созданы 3 компьютерные программы описывающие: а) процессы в электрическом колебательном контуре б) опыт Милликена в) скин-эффект. 3.4 Краткое описание программ. На основе проведенного теоретического анализа созданы демонстрационные программы: 'Электрический колебательный контур', 'Опыт Милликена ' и 'Скин-эффект'. Программы предназначены для работы в диалоговом режиме и дают пользователю возможность непосредственно участвовать в процессе.

Ученику изначально предложены варианты данных при которых явление лучше всего наблюдать, но ученик может по ходу процесса вносить свои изменения.

Система помощи позволяет работать с программой даже человеку плохо знакомому с ЭВМ. В системе ссылок указана литература к которой можно обратиться для более подробного изучения материала. В процессе работы ученика на экране представлена вся необходимая для работы информация. На основе программ созданы лабораторные работы, которые в настоящее время используются на физическом факультете ТГПУ им.

Толстого на кафедре общей физики в курсе методики преподавания физики.

Описания лабораторных работ прилагаются к дипломной работе.

Заключение В ходе выполнения дипломной работы: - проведен теоретический анализ моделируемых процессов; - выявлены новые эффекты; - на основе полученных решений созданы демонстрационные программы; - на основе разработанных программ созданы лабораторные работы; - лабораторные работы опробованы на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого в курсе методики преподавания физики. В дальнейшем автор предпологает продолжать работу в данном направлении. В частности ведется разработка генератора контрольных работ для средней школы.