Подобные работы

Интерполяция многочленами

echo "Функция у( х ) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у( х ) приближ

Ряд Фурье

echo "Подобное колебание, называемое меандром, находит широкое применение в технике. Итак, "; echo ''; echo " Так как на практике мы не можем вычислить бесконечную сумму, проанализируем, как увеличени

Решение задач - методы спуска

echo "Основная задача при выборе величины b k - это обеспечить выполнение неравенства j ( x k+1 ) j (x k ) . Одним из элементарных способов выбора шага является способ удвоения шага. Выбирают b k = b

Геометрия

echo "Например, выражение: «В D ABC сторона BC равна a , а в вершине A мы помещаем массу a » означает: «Длина стороны BC равна a , , я в вершине A , равна a грамм». Если в точке A помещена масса m , т

Теория вероятностей и математическая статистика

echo "Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы: "; echo ''; echo " , где x – нормальная случайная величина, а c 2 – независимая от x величина, которая распределена по

Типичные дефекты в криптографических протоколах

echo "Однако стандарты быстро устаревают, а в протоколах обнаруживаются дефекты разной степени тяжести, начиная от недостатков типа необоснованной сложности протокола и до катастрофических недостатков

Математика

echo "Матричная запись линейной ситемы А=( Кооф .), Х=( неизв .), В=(св. чл.), =( кооф и св. члены) Невыражд . сист . |a11 a12 .. b1 .. a1m| = | кооф.| , k=| a21 a22 .. b2 .. a2m| |………………………………..| | a

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

echo "Требуется найти определенный интеграл I = "; echo ''; echo " по квадратурной формуле Чебышева. Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычисли

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Требуется найти определенный интеграл I = по квадратурной формуле Чебышева.

Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x =0 , y = a , y = b и y = (Рис. ). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Если f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], и известна ее первообразная F( x ), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница = F(b) - F(a) где F’( x ) = f ( x ) Однако во многих случаях F( x ) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления. Кроме того, функция часто задается таблично.

Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла подинтегральной функции f ( x ) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a , b ]. Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными . Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида где x k - выбранные узлы интерполяции; A k - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции ( k =0,1,2,........, n ). R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования [ a , b ] на n равных частей системой точек x i = x o + i .. h ; ( i = 0,1,2,......,n) x o = a; x n = b; h= (b-a)/n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах y i = f ( x i ) ; ( i = 0,1,2,......, n ) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y = f ( x ) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [ a,b ] соответствующие значения f ( xi )= yi ( i =0,1,2..n). Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа.

Заменим f ( x ) полиномом Ln ( x ). Тогда где Rn ( f ) – ошибка квадратурной формулы.

Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln ( x ), получаем приближенную квадратурную формулу: Для вычисления коэффициентов Аi заметим что: 1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f ( x ); 2.для полинома степени n последняя формула точная.

Пологая y = xK ( k =0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений: где ( k =0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln ( x ) является излишним.

Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул : 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.

Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb , площадь которой примем за приближенное значение интеграла

y-f(x)
B
y
A
0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная трапеция Рис. 1.3.2. Метод трапеций. Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.

Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций: для метода средних прямоугольников: 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть n =2m есть четное число и yi = f ( xi ) ( i =0,1,2... n ) - значения функции y = f ( x ) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... , xn = b с шагом Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона: Остаточный член формулы Симпсона в общем виде: где x k I (x 2к-2 ,x 2к ) 1.5. Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида: функцию f ( x ) будем исать в виде когда f ( x ) многочлен вида f ( x )=a o +a 1 x+...+ a n x n . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах f(x 1 )=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n f(x 2 )=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n f(x 3 )=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n . . . . . . . . . . . . . . . . f( x n )=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+ a n x nn получим формулу Чебышева. Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3. Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n .

n I t i n i t i
2 1;2 ± 0,577350 6 1;6 ± 0,866247
3 1;3 ± 0,707107 2;5 ± 0,422519
2 0 3;4 ± 0,266635
4 1;4 ± 0,794654 7 1;7 ± 0,883862
2;3 ± 0,187592 2;6 ± 0,529657
5 1;5 ± 0,832498 3;5 ± 0,321912
2;4 ± 0,374541 4 0
3 0
2. Решение контрольного примера где a =0 ; b = при n =5; f(x) = sin(x);
i x i y i
1 0,131489 0,131118
2 0,490985 0,471494
3 0,785 0,706825
4 0,509015 0,487317
5 0,868511 0,763367
x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498)=0,131489 x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341)=0,490985 x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785 x 4 =1- x 2 =1-0,490985 = 0,509015 x 5 =1- x 1 =1-0,131489=0,868511 y 1 =sin(x 1 ) = sin(0,131489)=0,131118 y 2 =sin(x 2 ) = sin(0,490985)=0,471494 y 3 =sin(x 3 ) = sin(0,785)=0,706825 y 4 =sin(x 4 ) = sin(0,509015)=0,487317 y 5 =sin(x 5 ) = sin(0,868511)=0,763367 I = p /10(0,131118+ 0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) = = p /10*2,560121=0,8038779. 3. Описание программы Integral . pas . Алгоритм.

Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы x i Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы x i заполняет массив y i Процедура CHEB - используя массивы x i и y i , высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.