Подобные работы

Математика

echo "Матричная запись линейной ситемы А=( Кооф .), Х=( неизв .), В=(св. чл.), =( кооф и св. члены) Невыражд . сист . |a11 a12 .. b1 .. a1m| = | кооф.| , k=| a21 a22 .. b2 .. a2m| |………………………………..| | a

Решение задач - методы спуска

echo "Основная задача при выборе величины b k - это обеспечить выполнение неравенства j ( x k+1 ) j (x k ) . Одним из элементарных способов выбора шага является способ удвоения шага. Выбирают b k = b

Геометрия

echo "Например, выражение: «В D ABC сторона BC равна a , а в вершине A мы помещаем массу a » означает: «Длина стороны BC равна a , , я в вершине A , равна a грамм». Если в точке A помещена масса m , т

Типичные дефекты в криптографических протоколах

echo "Однако стандарты быстро устаревают, а в протоколах обнаруживаются дефекты разной степени тяжести, начиная от недостатков типа необоснованной сложности протокола и до катастрофических недостатков

Интерполяция многочленами

echo "Функция у( х ) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у( х ) приближ

Теория вероятностей и математическая статистика

echo "Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы: "; echo ''; echo " , где x – нормальная случайная величина, а c 2 – независимая от x величина, которая распределена по

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

echo "Требуется найти определенный интеграл I = "; echo ''; echo " по квадратурной формуле Чебышева. Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычисли

Ряд Фурье

echo "Подобное колебание, называемое меандром, находит широкое применение в технике. Итак, "; echo ''; echo " Так как на практике мы не можем вычислить бесконечную сумму, проанализируем, как увеличени

Ряд Фурье

Ряд Фурье

Подобное колебание, называемое меандром, находит широкое применение в технике. Итак, Так как на практике мы не можем вычислить бесконечную сумму, проанализируем, как увеличение числа слагаемых влияет на приближение. При этом мы сталкиваемся с явлением Гиббса.

H(t) 0 p 2 p 3 p t Прямоугольная
Рассмотрим это явление на примере прямоугольной волны H(t) с периодом 2 p .
Если вычислить сумму первых 2 n членов, то все члены с косинусами будут равны нулю и получаем:
H 2n (t) H(t) 1 ½ явление Гиббса p t
Гиббс отметил, что частичная сумма H 2n превосходит функцию на некоторую величину. Более точно H 2n ,08949…, при n ® Действительно, H 2n (t) не только превосходит функцию H(t), но и имеет тенденцию колебаться около H(t), и колебания уменьшаются медленно, когда t удаляется от разрыва. Чтобы объяснить явление, запишем как где использована формула Из выведенной формулы ясно, что максимум и минимум для 0 t p достигаются в точках , то есть при t= , m=1, 2, …, 2n-1, и что они чередуются. То, что верно для этой специальной функции, очевидно, верно и для более общих функций, так как разрыв можно рассматривать как возникающий из прямоугольной волны, прибавленной к главной функции.

Действительно, явление Гиббса мы можем наблюдать и при приближении пилообразного сигнала с помощью рядов Фурье. С пилообразными колебаниями часто приходится сталкиваться в устройствах для развёртки изображения в осциллографах.

Заметим, что при увеличении числа слагаемых в рядах Фурье, приближение улучшается (уменьшается глубина колебаний). Это наглядно показывают графики, приведённые в конце.

Задача следующего этапа этой работы - фильтрация зашумлённого сигнала с помощью быстрых преобразований Фурье (БПФ). Рассмотрим произвольный сигнал. В данном случае он задан как На практике почти всегда имеют дело с зашумлённым сигналом.

Поэтому наложим на сигнал некоторый шум.

Теперь попробуем очистить наш сигнал от шумов. Для этого применим БПФ, а затем цифровой фильтр. Итак, если использовать комплексное представление тригонометрических функций то получим , где Легко видеть, что ( a k и b k - коэффициенты разложения в ряд Фурье) Комплексная форма ряда Фурье удобнее в обращении при теоретических исследованиях, но вычисления проводятся с действительной формой. В комплексной форме существуют и положительные и отрицательные частоты: для каждой положительной частоты мы заменили две функции, синус и косинус, единой экспоненциальной, но имеющей как положительную, так и отрицательную частоту.

Покажем, что соответственно представлению рядам Фурье периодической функции имеется представление интегралом Фурье любой функции , где Функция F( s ) , грубо говоря, соответствует коэффициентам c л в ряде Фурье. Это - спектральная функция (спектральная плоскость); F( s ) описывает амплитуду частоты ( s ) в функции f(t) . Говорят, что функция F( s ) является преобразованием Фурье функции f(t) . Обе функции несут одну и ту же информацию, так как каждая может быть найдена из другой, но только в разных формах: : f(t) в области времени, а F( s ) в области частот. Итак, возвращаясь к нашей задаче, переведём сигнал из временной области в частотную. После этого применим цифровой фильтр. С помощью этого фильтра мы отбрасываем шумовые составляющие сигнала, оставляя частотные составляющие. Но нужно заметить, что пытаясь избавится от шумовых составляющих сигнала, мы невольно отбрасываем часть частотных. чем выше порог фильтрации, тем меньше шума мы получаем, но в то же время мы теряем всё большую часть полезной информации, то есть сигнал искажается. В этом я убедился на практике. Чем выше был порог шума, тем более «гладкой» была очищенная функция, но при наложении на неё исходного незашумлённого сигнала можно было убедиться в значительных расхождениях. И наоборот, чем ниже был порог шума, тем функция была менее «гладкой», но совпадение с исходным сигналом было лучше. При выборе определённого порога фильтрации нельзя не учитывать этот факт. Чтобы определить величину этого параметра прежде всего нужно руководствоваться особенностями поставленной задачи. Фурье-анализ.

a k
Как в чистой, так и в прикладной математике, обычно ищут инварианты представления — инварианты по отношению к классу преобразований. В классе периодических функций перенос осей t=t’+b не должны менять в представлении функции того, что не зависит от системы координат.

Непосредственно видно, что коэффициенты Фурье a k и b k не обладают этими свойствами и меняются при сдвиге оси, то есть когда изменяется начало отсчёта времени.