Подобные работы

Вычислительные машины и мышление

echo "Кибернетика становится важнейшим фактором научно-технической революции на высших этапах ее развития. Кибернетика возникла на стыке многих областей знания математики, логики, семиотики, биологии

Философия искусства

echo "Введение. Философия – это наука о всеобщем, соответственно, результатом анализа всякого явления является обнаружение всеобщего. Поэтому философский анализ явления искусства призван выявить исх

Георгий Конисский - философ XVIII века

echo "Использованная литература. ВВЕДЕНИЕ. Известно, что в XV-XVII веках в славянском мире совершается процесс усвоения и переработки гуманистических идей не менее значительный, чем в Западной Европе.

Этногенез. Теория Л.Н.Гумилева

echo "Оглавление Введение…………………………………………………………………. 3 I .ЭТНОС………………………………………………………………… 3 1. Понятие этноса……………………………………………………….. 3 2. Этнос как система……………………………………………………. 4 3. Этническая иерархия…

Уровни научного знания эмпирический, теоретический, метеотеоретический

echo "Оснований для выделения эмпирического и теоретического этапов в научном исследовании существует несколько. В частности, эти два этапа и уровня в научном исследовании различаются но гносеологичес

Философская антропология в 20 веке

echo "Литература Введение В ХХ веке произошло становление специальной отрасли философского знания, которая сложилась в Германии в 20-е годы и занимается изучением человека. Она получила название филос

Философия К. Поппера и принцип фальсификации

echo "Правда, под влиянием угрозы со стороны тоталитаризма и событий Второй мировой войны отдавшего дань социально-филосовской рефлексии и написавшего “Нищету историцизма” и “Открытое общество”, но вс

Философия Вселенского пессимизма Артура Шопенгауэра

echo "Убыстряющиеся темпы научно-технического творчества, связанные с развитием капиталистического производства, вызвали к жизни мировосприятие, лежащее в основе пессимистического направления. Подчер

Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: “Все есть число”. Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии.

Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а:в = в:с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”, то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой.

Другими словами, иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точки зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис в истории математики.

Элеаты . Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на формирование абстрактной научной мысли огромно.

Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных величин, таких, как длины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.

Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения своей науки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание прочный фундамент. Числа и геометрические величины. Мы видели, что пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру.

Каждое число у них было дискретным набором единиц; таким образом, пифагорейская арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.

Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом - “количеством”(длина, площадь, объем). Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел, величины должны были иметь общую единицу измерения - быть с о и з м е р и м ы м и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами, интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась.

Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел.В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике.

Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются н е с о и з м е р и м ы м и.

Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам? Парадоксы Зенона и понятие бесконечности.

Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного,противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.

Доводами Зенона были “апории” (тупики) ; они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят в тупик. Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени.

Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо , Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине. Еще более явным этот момент становится в апории “Дихотомия”: прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2) 2 + (1/2) 3 + ..., сумма которого равна 1 , но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия.

Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа Парадокс “Стрела” основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов, скажем “точек” и “моментов”. В некий “момент” своего полета стрела находится в некоторой “точке” пространства в неподвижном состоянии.

Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении. Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению Таким образом,все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.

Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю,который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние.