Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы ЧебышеваТребуется найти определенный интеграл I = по квадратурной формуле Чебышева.
Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.
Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x =0 , y = a , y = b и y = (Рис. ). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Если f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], и известна ее первообразная F( x ), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница = F(b) - F(a) где F’( x ) = f ( x ) Однако во многих случаях F( x ) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления. Кроме того, функция часто задается таблично.
Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла подинтегральной функции f ( x ) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a , b ]. Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными . Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида где x k - выбранные узлы интерполяции; A k - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции ( k =0,1,2,........, n ). R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.
Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [ a , b ] на n равных частей системой точек x i = x o + i .. h ; ( i = 0,1,2,......,n) x o = a; x n = b; h= (b-a)/n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах y i = f ( x i ) ; ( i = 0,1,2,......, n ) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y = f ( x ) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [ a,b ] соответствующие значения f ( xi )= yi ( i =0,1,2..n). Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа.
Заменим f ( x ) полиномом Ln ( x ). Тогда где Rn ( f ) – ошибка квадратурной формулы.
Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln ( x ), получаем приближенную квадратурную формулу: Для вычисления коэффициентов Аi заметим что: 1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f ( x ); 2.для полинома степени n последняя формула точная.
Пологая y = xK ( k =0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений: где ( k =0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln ( x ) является излишним.
Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.
Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул : 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.
Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb , площадь которой примем за приближенное значение интеграла y | |  | 0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная трапеция Рис. 1.3.2. Метод трапеций. Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.
Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций: для метода средних прямоугольников: 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть n =2m есть четное число и yi = f ( xi ) ( i =0,1,2... n ) - значения функции y = f ( x ) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... , xn = b с шагом Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона: Остаточный член формулы Симпсона в общем виде: где x k I (x 2к-2 ,x 2к ) 1.5. Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида: функцию f ( x ) будем исать в виде когда f ( x ) многочлен вида f ( x )=a o +a 1 x+...+ a n x n . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах f(x 1 )=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n f(x 2 )=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n f(x 3 )=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n . . . . . . . . . . . . . . . . f( x n )=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+ a n x nn получим формулу Чебышева. Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3. Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n . n | I | t i | n | i | t i | 2 | 1;2 | ± 0,577350 | 6 | 1;6 | ± 0,866247 | 3 | 1;3 | ± 0,707107 | | 2;5 | ± 0,422519 | | 2 | 0 | | 3;4 | ± 0,266635 | 4 | 1;4 | ± 0,794654 | 7 | 1;7 | ± 0,883862 | | 2;3 | ± 0,187592 | | 2;6 | ± 0,529657 | 5 | 1;5 | ± 0,832498 | | 3;5 | ± 0,321912 | | 2;4 | ± 0,374541 | | 4 | 0 | | 3 | 0 | | | | 2. Решение контрольного примера где a =0 ; b = при n =5; f(x) = sin(x); i | x i | y i | 1 | 0,131489 | 0,131118 | 2 | 0,490985 | 0,471494 | 3 | 0,785 | 0,706825 | 4 | 0,509015 | 0,487317 | 5 | 0,868511 | 0,763367 | x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498)=0,131489 x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341)=0,490985 x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785 x 4 =1- x 2 =1-0,490985 = 0,509015 x 5 =1- x 1 =1-0,131489=0,868511 y 1 =sin(x 1 ) = sin(0,131489)=0,131118 y 2 =sin(x 2 ) = sin(0,490985)=0,471494 y 3 =sin(x 3 ) = sin(0,785)=0,706825 y 4 =sin(x 4 ) = sin(0,509015)=0,487317 y 5 =sin(x 5 ) = sin(0,868511)=0,763367 I = p /10(0,131118+ 0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) = = p /10*2,560121=0,8038779. 3. Описание программы Integral . pas . Алгоритм.
Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы x i Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы x i заполняет массив y i Процедура CHEB - используя массивы x i и y i , высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
|